Решить неравенство 25^x+5^x-2<=0

Для решения неравенства ${25}^x+5^x-2\le 0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что ${25}^x$ можно представить как $(5^2{)}^x$, что равно $(5^x{)}^2$. Перепишем неравенство в виде: $(5^x{)}^2+5^x-2\le 0$2. Замена переменной Пусть $t=5^x$. Важно помнить, что показательная функция всегда принимает только положительные значения, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Теперь неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$: $t^2+t-2\le 0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2+t-2=0$. Можно воспользоваться дискриминантом или теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=-1$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-2$

Корни уравнения: $t_1=-2$ $t_2=1$ Разложим левую часть на множители: $(t+2)(t-1)\le 0$Решением этого неравенства относительно $t$ является отрезок между корнями: $-2\le t\le 1$4. Учет области определения $t$ Ранее мы установили, что $t>0$. Объединяя условия $-2\le t\le 1$ и $t>0$, получаем уточненный интервал для $t$: $0<t\le 1$5. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$, подставив $t=5^x$: $0<5^x\le 1$Поскольку $5^x$ всегда больше $0$ для любого действительного $x$, левая часть неравенства ( $5^x>0$) выполняется автоматически. Решаем правую часть: $5^x\le 1$ $5^x\le 5^0$Так как основание степени $5>1$, функция $y=5^x$ является возрастающей. При переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x\le 0$Ответ: $x\in (-\infty ;0]$ Я могу помочь вам с решением других неравенств или разбором подобных задач на логарифмы и степени. Хотите, чтобы я подобрал аналогичный пример для закрепления темы?