Решить неравенство под корнем 3x - 2 > x-2

Для решения иррационального неравенства $\sqrt{3x-2}>x-2$ необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ) и два возможных случая, зависящих от знака выражения в правой части. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x-2\ge 0⟹3x\ge 2⟹x\ge \frac{2}{3}$ 2. Разбор случаев Случай А: Правая часть отрицательна Если $x-2<0$, то корень (который всегда неотрицателен по определению) всегда будет больше отрицательного числа.

1. $x-2<0⟹x<2$ С учетом ОДЗ: $\frac{2}{3}\le x<2$

В этом интервале неравенство верно всегда. Случай Б: Правая часть неотрицательна Если $x-2\ge 0$, то обе части неравенства можно возвести в квадрат:

1. $x\ge 2$ $(\sqrt{3x-2}{)}^2>(x-2{)}^2$ $3x-2>x^2-4x+4$

Перенесем все члены в одну сторону и решим квадратное неравенство: $x^2-7x+6<0$Найдем корни уравнения $x^2-7x+6=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $x_1=1$ $x_2=6$

Решением неравенства $x^2-7x+6<0$ является интервал $(1,6)$. Теперь пересечем этот результат с условием случая Б ( $x\ge 2$): $[2,+\infty )\cap (1,6)⟹2\le x<6$3. Объединение результатов Объединим решения из Случая А и Случая Б:

• Случай А: $[\frac{2}{3},2)$ Случай Б: $[2,6)$

Объединение: $[\frac{2}{3},6)$ Ответ: $x\in [\frac{2}{3},6)$ Я могу составить аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с модулем. Хотите продолжить?