Решить уравнение: sinx+cosx=1

Для решения уравнения $\sin x+\cos x=1$ можно воспользоваться методом введения вспомогательного угла или возведением в квадрат (с последующей проверкой корней). Рассмотрим наиболее универсальный метод — введение вспомогательного угла. Способ 1: Метод вспомогательного угла

1. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ :
   $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ Заменим коэффициенты значениями тригонометрических функций. Известно, что $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Уравнение принимает вид:
   $\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Применим формулу синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:
   $\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Решим полученное простейшее уравнение:
   $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+\pi k$ Распишем решение для четных и нечетных $k$ для наглядности:
   • Если $k=2n$:
     $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n⟹x_1=2\pi n$ Если $k=2n+1$:
     $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi (2n+1)⟹x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n⟹x_2=\frac{\pi }{2}+2\pi n$

Способ 2: Возведение в квадрат

1. Возведем обе части в квадрат:
   $(\sin x+\cos x{)}^2=1^2$ ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1$ Используем основное тригонометрическое тождество ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$):
   $1+2\sin x\cos x=1$ $2\sin x\cos x=0$ Применим формулу двойного угла:
   $\sin 2x=0$ $2x=\pi n⟹x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Проверка корней:
   Так как возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, проверим значения на одном периоде $[0;2\pi )$:
   • при $n=0:x=0⟹\sin 0+\cos 0=0+1=1$ (верно) при $n=1:x=\frac{\pi }{2}⟹\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=1+0=1$ (верно) при $n=2:x=\pi ⟹\sin \pi +\cos \pi =0-1=-1$ (ложно) при $n=3:x=\frac{3\pi }{2}⟹\sin \frac{3\pi }{2}+\cos \frac{3\pi }{2}=-1+0=-1$ (ложно)

Ответ: $x=2\pi k$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Могу ли я помочь с решением других тригонометрических уравнений или систем?