Решить уравнения 1) x^4-4+x^3+2x=0 2) |x^2+x|+3x-5=0 3) sqrt(x-2)+sqrt(5-2x)=1 4) x^4-(4b^2+1)*x^2+4b^2=0

Question

Решить уравнения 1) x^4-4+x^3+2x=0 2) |x^2+x|+3x-5=0 3) sqrt(x-2)+sqrt(5-2x)=1 4) x^4-(4b^2+1)*x^2+4b^2=0

Holynoob 27.02.2026 19:25

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Решения уравнений: 1) $x_{1} = 1, x_{2} = -2 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 2$ ; 2) $x_{1} = 1, x_{2} = -5 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 5$ ; 3) $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{22}{9} x sub 1 equals 2 comma x sub 2 equals 22 over 9 end-fraction$ ; 4) $x_{1, 2} = \pm 1, x_{3, 4} = \pm 2 b x sub 1 comma 2 end-sub equals plus or minus 1 comma x sub 3 comma 4 end-sub equals plus or minus 2 b$ . Шаг 1: Решение уравнения $x^{4} - 4 + x^{3} + 2 x = 0 x to the fourth power minus 4 plus x cubed plus 2 x equals 0$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $(x^{4} - 4) + (x^{3} + 2 x) = 0 open paren x to the fourth power minus 4 close paren plus open paren x cubed plus 2 x close paren equals 0$ Используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) a squared minus b squared equals open paren a minus b close paren open paren a plus b close paren$ для первой скобки и вынося общий множитель во второй: $(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) + x (x^{2} + 2) = 0 open paren x squared minus 2 close paren open paren x squared plus 2 close paren plus x open paren x squared plus 2 close paren equals 0$ $(x^{2} + 2) (x^{2} + x - 2) = 0 open paren x squared plus 2 close paren open paren x squared plus x minus 2 close paren equals 0$ Так как $x^{2} + 2 > 0 x squared plus 2 is greater than 0$ для любого действительного $x x$ , то: $x^{2} + x - 2 = 0 x squared plus x minus 2 equals 0$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $x_{1} = 1, x_{2} = -2 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 2$ . Шаг 2: Решение уравнения $| x^{2} + x | + 3 x - 5 = 0 the absolute value of x squared plus x end-absolute-value plus 3 x minus 5 equals 0$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Если $x^{2} + x \geq 0 x squared plus x is greater than or equal to 0$ (т.е. $x \in (- \infty, -1] \cup [0, \infty) x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close bracket union open bracket 0 comma infinity close paren$ ):
$x^{2} + x + 3 x - 5 = 0 x^{2} + 4 x - 5 = 0 x squared plus x plus 3 x minus 5 equals 0 implies x squared plus 4 x minus 5 equals 0$ Корни: $x = 1 x equals 1$ и $x = -5 x equals negative 5$ . Оба значения входят в область условия. Если $x^{2} + x < 0 x squared plus x is less than 0$ (т.е. $x \in (-1, 0) x is an element of open paren negative 1 comma 0 close paren$ ):
$- (x^{2} + x) + 3 x - 5 = 0 - x^{2} + 2 x - 5 = 0 x^{2} - 2 x + 5 = 0 negative open paren x squared plus x close paren plus 3 x minus 5 equals 0 implies negative x squared plus 2 x minus 5 equals 0 implies x squared minus 2 x plus 5 equals 0$ Дискриминант $D = 4 - 20 = -16 < 0 cap D equals 4 minus 20 equals negative 16 is less than 0$ , действительных корней нет.
Ответ: $x_{1} = 1, x_{2} = -5 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 5$ .

Шаг 3: Решение уравнения $\sqrt{x - 2} + \sqrt{5 - 2 x} = 1 the square root of x minus 2 end-root plus the square root of 5 minus 2 x end-root equals 1$ Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x - 2 \geq 0 x minus 2 is greater than or equal to 0$ и $5 - 2 x \geq 0 5 minus 2 x is greater than or equal to 0$ , откуда $x \in [2, 2.5] x is an element of open bracket 2 comma 2.5 close bracket$ . Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x - 2} + \sqrt{5 - 2 x})^{2} = 1^{2} open paren the square root of x minus 2 end-root plus the square root of 5 minus 2 x end-root close paren squared equals 1 squared$ $(x - 2) + (5 - 2 x) + 2 \sqrt{(x - 2) (5 - 2 x)} = 1 open paren x minus 2 close paren plus open paren 5 minus 2 x close paren plus 2 the square root of open paren x minus 2 close paren open paren 5 minus 2 x close paren end-root equals 1$ $3 - x + 2 \sqrt{-2 x^{2} + 9 x - 10} = 1 3 minus x plus 2 the square root of negative 2 x squared plus 9 x minus 10 end-root equals 1$ $2 \sqrt{-2 x^{2} + 9 x - 10} = x - 2 2 the square root of negative 2 x squared plus 9 x minus 10 end-root equals x minus 2$ Снова возведем в квадрат (учитывая, что $x - 2 \geq 0 x minus 2 is greater than or equal to 0$ , что совпадает с ОДЗ): $4 (-2 x^{2} + 9 x - 10) = (x - 2)^{2} 4 open paren negative 2 x squared plus 9 x minus 10 close paren equals open paren x minus 2 close paren squared$ $-8 x^{2} + 36 x - 40 = x^{2} - 4 x + 4 9 x^{2} - 40 x + 44 = 0 negative 8 x squared plus 36 x minus 40 equals x squared minus 4 x plus 4 implies 9 x squared minus 40 x plus 44 equals 0$ Найдем дискриминант: $D = 1600 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1600 - 1584 = 16 cap D equals 1600 minus 4 center dot 9 center dot 44 equals 1600 minus 1584 equals 16$ . $x = \frac{40 \pm 4}{18} x_{1} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9}, x_{2} = \frac{36}{18} = 2 x equals the fraction with numerator 40 plus or minus 4 and denominator 18 end-fraction implies x sub 1 equals 44 over 18 end-fraction equals 22 over 9 end-fraction comma x sub 2 equals 36 over 18 end-fraction equals 2$ Оба корня входят в ОДЗ $[2, 2.5] open bracket 2 comma 2.5 close bracket$ . Ответ: $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{22}{9} x sub 1 equals 2 comma x sub 2 equals 22 over 9 end-fraction$ . Шаг 4: Решение уравнения $x^{4} - (4 b^{2} + 1) x^{2} + 4 b^{2} = 0 x to the fourth power minus open paren 4 b squared plus 1 close paren x squared plus 4 b squared equals 0$ Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^{2} t equals x squared$ , где $t \geq 0 t is greater than or equal to 0$ : $t^{2} - (4 b^{2} + 1) t + 4 b^{2} = 0 t squared minus open paren 4 b squared plus 1 close paren t plus 4 b squared equals 0$ По теореме Виета сумма корней $t_{1} + t_{2} = 4 b^{2} + 1 t sub 1 plus t sub 2 equals 4 b squared plus 1$ , а произведение $t_{1} t_{2} = 4 b^{2} t sub 1 t sub 2 equals 4 b squared$ . Очевидно, что: $t_{1} = 4 b^{2}, t_{2} = 1 t sub 1 equals 4 b squared comma t sub 2 equals 1$ Вернемся к переменной $x x$ :

$x^{2} = 1 x = \pm 1 x squared equals 1 implies x equals plus or minus 1$ $x^{2} = 4 b^{2} x = \pm 2 b x squared equals 4 b squared implies x equals plus or minus 2 b$
Ответ: $x = \pm 1, x = \pm 2 b x equals plus or minus 1 comma x equals plus or minus 2 b$ .

Ответ:

$x \in {-2, 1} x is an element of the set negative 2 comma 1 end-set$
$x \in {-5, 1} x is an element of the set negative 5 comma 1 end-set$
$x \in {2, \frac{22}{9}} x is an element of the set 2 comma 22 over 9 end-fraction end-set$
$x \in {\pm 1, \pm 2 b} x is an element of the set plus or minus 1 comma plus or minus 2 b end-set$

Требуется ли вам проверка полученных корней путем подстановки в исходные иррациональные уравнения?

Решить уравнения 1) x^4-4+x^3+2x=0 2) |x^2+x|+3x-5=0 3) sqrt(x-2)+sqrt(5-2x)=1 4) x^4-(4b^2+1)*x^2+4b^2=0

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов