Решить уравнение cos2x+5sinx=3

Для решения уравнения $\cos 2x+5\sin x=3$ воспользуемся тригонометрическими формулами и сведем его к квадратному уравнению относительно одной функции. 1. Преобразование уравнения Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $(1-2{\sin }^{2}x)+5\sin x=3$Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $-2{\sin }^{2}x+5\sin x+1-3=0$ $-2{\sin }^{2}x+5\sin x-2=0$Для удобства умножим все уравнение на $-1$: $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$2. Введение новой переменной Пусть $\sin x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2-5t+2=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$Находим корни $t$: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $t_1=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$ $t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=0,5$

4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=2$ — не подходит, так как значение синуса не может превышать 1. $t_2=0,5$ — подходит. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\sin x=0,5$Используем общую формулу для синуса: $x=\left(-1{)}^n\arcsin \right(0,5)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Или, записывая в виде двух серий решений:

• $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Могу также помочь с отбором корней на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.