Решите неравенство: lg x+lg (x-3)<1

Для решения неравенства $\lg x+\lg (x-3)<1$ необходимо последовательно определить область допустимых значений, упростить логарифмическое выражение и решить полученное алгебраическое неравенство. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $\{\begin{array}{c}x>0\\ x-3>0\end{array}⟹\{\begin{array}{c}x>0\\ x>3\end{array}$Таким образом, ОДЗ: $x\in (3;+\infty )$. 2. Преобразование неравенства Используем свойство суммы логарифмов $\lg a+\lg b=\lg (a\cdot b)$ и представим число $1$ как $\lg 10$: $\lg \left(x\right(x-3\left)\right)<\lg 10$Так как основание десятичного логарифма ( $10$) больше единицы, логарифмическая функция возрастает. Мы можем перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства: $x(x-3)<10$ $x^2-3x-10<0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $x^2-3x-10=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $3$ Произведение корней: $-10$ Корни: $x_1=5,x_2=-2$

Разложим на множители: $(x-5)(x+2)<0$Методом интервалов определяем, что выражение отрицательно при: $x\in (-2;5)$ 4. Пересечение с ОДЗ Теперь объединим полученное решение с условиями ОДЗ: $\{\begin{array}{c}-2<x<5\\ x>3\end{array}$Общим интервалом является промежуток от $3$ до $5$. Ответ: $x\in (3;5)$ Хотите, чтобы я решил аналогичное неравенство с другим основанием логарифма?