Log11(x+4)+log11(x-2)=log11(x-6)

Для решения уравнения ${\log }_{11}(x+4)+{\log }_{11}(x-2)={\log }_{11}(x-6)$ необходимо выполнить следующие шаги: определение области допустимых значений (ОДЗ), преобразование уравнения и проверка корней. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $x+4>0x>-4$ $x-2>0x>2$ $x-6>0x>6$

Общим условием для системы неравенств является $x>6$. 2. Решение уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_{11}\left(\right(x+4\left)\right(x-2\left)\right)={\log }_{11}(x-6)$Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $(x+4)(x-2)=x-6$Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: $x^2-2x+4x-8=x-6$ $x^2+2x-8=x-6$ $x^2+x-2=0$3. Нахождение корней Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$ $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$ $x_2=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

4. Проверка по ОДЗ Ранее было установлено, что допустимые значения переменной должны удовлетворять условию $x>6$.

• $x_1=1$: не подходит, так как $1<6$. $x_2=-2$: не подходит, так как $-2<6$.

Поскольку ни один из найденных корней не входит в область допустимых значений (при подстановке в исходное уравнение аргументы логарифмов становятся отрицательными), уравнение не имеет решений. Ответ: корней нет. Я могу помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем. Хотите, чтобы я разобрал пример с другим основанием логарифма?