Найдите промежутки монотонности f(x)= 4-2x+7x2

Функция $f\left(x\right)=4-2x+7x^2$ убывает на промежутке $(-\infty ,\frac{1}{7}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{7},+\infty )$ . Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $f\left(x\right)$. Используем правила дифференцирования суммы и степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(4-2x+7x^2{)}^{\prime }=0-2+14x=14x-2$Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки находятся в местах, где производная равна нулю или не существует. Приравняем полученную производную к нулю: $14x-2=0$ $14x=2$ $x=\frac{1}{7}$ Данная точка разделяет область определения функции на два интервала. Шаг 3: Определение знаков производной на интервалах Исследуем знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=14x-2$ на каждом интервале:

1. На интервале $(-\infty ,\frac{1}{7})$ : выберем пробную точку $x=0$. $f^{\prime }\left(0\right)=14\left(0\right)-2=-2$. Так как $f^{\prime }\left(x\right)<0$, функция убывает. На интервале $(\frac{1}{7},+\infty )$ : выберем пробную точку $x=1$. $f^{\prime }\left(1\right)=14\left(1\right)-2=12$. Так как $f^{\prime }\left(x\right)>0$, функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=\frac{1}{7}$ , эту точку включают в оба промежутка. Ответ: Функция убывает при $x\in (-\infty ,\frac{1}{7}]$ и возрастает при $x\in [\frac{1}{7},+\infty )$ . Хотите узнать, как найти экстремумы (минимум или максимум) этой функции на основе полученных данных?