Решите неравенство log2(х^2+3x)≤2решите неравенство log0,1(х^2-x-2)≥log0,1(10-2x)решите уравнение log2(х^2+3x)=2решите уравнение √x+3-√7-x=2

Question

Решите неравенство log2(х^2+3x)≤2решите неравенство log0,1(х^2-x-2)≥log0,1(10-2x)решите уравнение log2(х^2+3x)=2решите уравнение √x+3-√7-x=2

TrueSMOKE 22.02.2026 20:18

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Ответы на задачи: решением первого неравенства является объединение полуинтервалов $[-4, -3) \cup (0, 1] open bracket negative 4 comma negative 3 close paren union open paren 0 comma 1 close bracket$ ; решением второго неравенства является объединение полуинтервалов $[-4, -1) \cup (2, 3] open bracket negative 4 comma negative 1 close paren union open paren 2 comma 3 close bracket$ ; корнями первого уравнения являются $x_{1} = 1 x sub 1 equals 1$ и $x_{2} = -4 x sub 2 equals negative 4$ ; корнем иррационального уравнения является $x = 6 x equals 6$ . Шаг 1: Решение логарифмического неравенства $\log_{2} (x^{2} + 3 x) \leq 2 log base 2 of open paren x squared plus 3 x close paren is less than or equal to 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$x^{2} + 3 x > 0 x (x + 3) > 0 x \in (- \infty, -3) \cup (0, + \infty) x squared plus 3 x is greater than 0 implies x open paren x plus 3 close paren is greater than 0 implies x is an element of open paren negative infinity comma negative 3 close paren union open paren 0 comma positive infinity close paren$ Преобразуем неравенство, используя определение логарифма (основание $2 > 1 2 is greater than 1$ , знак сохраняется):
$x^{2} + 3 x \leq 2^{2} x^{2} + 3 x - 4 \leq 0 x squared plus 3 x is less than or equal to 2 squared implies x squared plus 3 x minus 4 is less than or equal to 0$ Найдем корни уравнения $x^{2} + 3 x - 4 = 0 x squared plus 3 x minus 4 equals 0$ : по теореме Виета $x_{1} = 1, x_{2} = -4 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 4$ . Решением неравенства $x^{2} + 3 x - 4 \leq 0 x squared plus 3 x minus 4 is less than or equal to 0$ является отрезок $[-4, 1] open bracket negative 4 comma 1 close bracket$ . Пересечем полученный результат с ОДЗ:
$[-4, 1] \cap ((- \infty, -3) \cup (0, + \infty)) = [-4, -3) \cup (0, 1] open bracket negative 4 comma 1 close bracket intersection open paren open paren negative infinity comma negative 3 close paren union open paren 0 comma positive infinity close paren close paren equals open bracket negative 4 comma negative 3 close paren union open paren 0 comma 1 close bracket$

Шаг 2: Решение неравенства $\log_{0.1} (x^{2} - x - 2) \geq \log_{0.1} (10 - 2 x) log base 0.1 of open paren x squared minus x minus 2 close paren is greater than or equal to log base 0.1 of open paren 10 minus 2 x close paren$

Установим ОДЗ:
$x^{2} - x - 2 > 0 (x - 2) (x + 1) > 0 x \in (- \infty, -1) \cup (2, + \infty) x squared minus x minus 2 is greater than 0 implies open paren x minus 2 close paren open paren x plus 1 close paren is greater than 0 implies x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren union open paren 2 comma positive infinity close paren$
$10 - 2 x > 0 2 x < 10 x < 5 10 minus 2 x is greater than 0 implies 2 x is less than 10 implies x is less than 5$
Общая ОДЗ: $x \in (- \infty, -1) \cup (2, 5) x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren union open paren 2 comma 5 close paren$ Так как основание логарифма $0.1 < 1 0.1 is less than 1$ , при переходе к аргументам знак неравенства меняется:
$x^{2} - x - 2 \leq 10 - 2 x x^{2} + x - 12 \leq 0 x squared minus x minus 2 is less than or equal to 10 minus 2 x implies x squared plus x minus 12 is less than or equal to 0$ Корни уравнения $x^{2} + x - 12 = 0 x squared plus x minus 12 equals 0$ равны $x_{1} = -4, x_{2} = 3 x sub 1 equals negative 4 comma x sub 2 equals 3$ . Решение: $x \in [-4, 3] x is an element of open bracket negative 4 comma 3 close bracket$ . Учтем ОДЗ: $[-4, 3] \cap ((- \infty, -1) \cup (2, 5)) = [-4, -1) \cup (2, 3] open bracket negative 4 comma 3 close bracket intersection open paren open paren negative infinity comma negative 1 close paren union open paren 2 comma 5 close paren close paren equals open bracket negative 4 comma negative 1 close paren union open paren 2 comma 3 close bracket$

Шаг 3: Решение уравнения $\log_{2} (x^{2} + 3 x) = 2 log base 2 of open paren x squared plus 3 x close paren equals 2$

Уравнение равносильно системе:
$x^{2} + 3 x = 2^{2} x squared plus 3 x equals 2 squared$ при условии $x^{2} + 3 x > 0 x squared plus 3 x is greater than 0$ (выполняется автоматически, так как $4 > 0 4 is greater than 0$ ). Решим квадратное уравнение: $x^{2} + 3 x - 4 = 0 x squared plus 3 x minus 4 equals 0$ . Корни: $x_{1} = 1, x_{2} = -4 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 4$ .

Шаг 4: Решение уравнения $\sqrt{x + 3} - \sqrt{7 - x} = 2 the square root of x plus 3 end-root minus the square root of 7 minus x end-root equals 2$

ОДЗ: $x + 3 \geq 0 x plus 3 is greater than or equal to 0$ и $7 - x \geq 0 x \in [-3, 7] 7 minus x is greater than or equal to 0 implies x is an element of open bracket negative 3 comma 7 close bracket$ . Перенесем один радикал вправо: $\sqrt{x + 3} = 2 + \sqrt{7 - x} the square root of x plus 3 end-root equals 2 plus the square root of 7 minus x end-root$ . Возведем обе части в квадрат: $x + 3 = 4 + 4 \sqrt{7 - x} + 7 - x 2 x - 8 = 4 \sqrt{7 - x} x plus 3 equals 4 plus 4 the square root of 7 minus x end-root plus 7 minus x implies 2 x minus 8 equals 4 the square root of 7 minus x end-root$ . Разделим на 2: $x - 4 = 2 \sqrt{7 - x} x minus 4 equals 2 the square root of 7 minus x end-root$ . Заметим, что правая часть $\geq 0 is greater than or equal to 0$ , значит $x - 4 \geq 0 x \in [4, 7] x minus 4 is greater than or equal to 0 implies x is an element of open bracket 4 comma 7 close bracket$ . Возведем в квадрат еще раз: $(x - 4)^{2} = 4 (7 - x) x^{2} - 8 x + 16 = 28 - 4 x x^{2} - 4 x - 12 = 0 open paren x minus 4 close paren squared equals 4 open paren 7 minus x close paren implies x squared minus 8 x plus 16 equals 28 minus 4 x implies x squared minus 4 x minus 12 equals 0$ . Корни: $x_{1} = 6, x_{2} = -2 x sub 1 equals 6 comma x sub 2 equals negative 2$ . Корень $x = -2 x equals negative 2$ не входит в условие $x \geq 4 x is greater than or equal to 4$ . Проверка: $\sqrt{6 + 3} - \sqrt{7 - 6} = 3 - 1 = 2 the square root of 6 plus 3 end-root minus the square root of 7 minus 6 end-root equals 3 minus 1 equals 2$ . Верно.

Ответ:

$x \in [-4, -3) \cup (0, 1] x is an element of open bracket negative 4 comma negative 3 close paren union open paren 0 comma 1 close bracket$ $x \in [-4, -1) \cup (2, 3] x is an element of open bracket negative 4 comma negative 1 close paren union open paren 2 comma 3 close bracket$ $x_{1} = 1, x_{2} = -4 x sub 1 equals 1 comma x sub 2 equals negative 4$ $x = 6 x equals 6$

Нужны ли вам дополнительные проверки для этих решений или помощь с графической интерпретацией неравенств?

Решите неравенство log2(х^2+3x)≤2решите неравенство log0,1(х^2-x-2)≥log0,1(10-2x)решите уравнение log2(х^2+3x)=2решите уравнение √x+3-√7-x=2

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов