Решите пожалуйста: sin15 - cos15=

Для решения выражения $\sin {15}^{\circ }-\cos {15}^{\circ }$ можно воспользоваться методом введения вспомогательного угла или формулами приведения. Рассмотрим наиболее наглядный способ. Способ 1: Преобразование в произведение Воспользуемся формулой разности синуса и косинуса. Сначала представим косинус как синус через формулу приведения: $\cos {15}^{\circ }=\sin ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })=\sin {75}^{\circ }$Теперь применим формулу разности синусов $\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$ : $\sin {15}^{\circ }-\sin {75}^{\circ }=2\sin \frac{{15}^{\circ }-{75}^{\circ }}{2}\cos \frac{{15}^{\circ }+{75}^{\circ }}{2}$

1. Вычисляем аргументы:
   • $\frac{15-75}{2}={-30}^{\circ }$ $\frac{15+75}{2}={45}^{\circ }$
2. Подставляем значения:
   • $2\cdot \sin \left({-30}^{\circ }\right)\cdot \cos {45}^{\circ }$
3. Используем табличные значения ( $\sin \left({-30}^{\circ }\right)=-1/2$, $\cos {45}^{\circ }=\sqrt{2}/2$ ):
   • $2\cdot (-\frac{1}{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Способ 2: Введение вспомогательного множителя Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки, чтобы получить значения синуса и косинуса угла ${45}^{\circ }$: $\sin {15}^{\circ }-\cos {15}^{\circ }=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin {15}^{\circ }-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos {15}^{\circ })$ $\sqrt{2}(\cos {45}^{\circ }\sin {15}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cos {15}^{\circ })$ Применим формулу синуса разности $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$: $\sqrt{2}\cdot \sin ({15}^{\circ }-{45}^{\circ })=\sqrt{2}\cdot \sin \left({-30}^{\circ }\right)$ $\sqrt{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Ответ: $\sin {15}^{\circ }-\cos {15}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Я могу также рассчитать численное значение этого выражения или решить похожий пример с другими углами, если это потребуется.