Найдите точки экстремума функции и определите их характер y=(x+1)^3(3-x)

Точка максимума функции находится в $x=2$, в то время как в точке $x=-1$ экстремума нет. Шаг 1: Нахождение производной функции Для дифференцирования функции $y=(x+1{)}^3(3-x)$ воспользуемся правилом произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ и правилом сложной функции: $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\cdot 1\cdot (3-x)+(x+1{)}^3\cdot \left(-1\right)$Вынесем общий множитель $(x+1{)}^2$ за скобки: $y^{\prime }=(x+1{)}^2[3(3-x)-(x+1)]$ $y^{\prime }=(x+1{)}^2[9-3x-x-1]$ $y^{\prime }=(x+1{)}^2(8-4x)=4(x+1{)}^2(2-x)$Шаг 2: Определение критических точек Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $4(x+1{)}^2(2-x)=0$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=-1$ $x_2=2$ Шаг 3: Исследование знака производной Определим характер точек, используя метод интервалов для $y^{\prime }$:

1. На промежутке $(-\infty ;-1)$: выберем $x=-2$, тогда $y^{\prime }=4\left(-1{)}^2\right(4)>0$ (функция возрастает). На промежутке $(-1;2)$: выберем $x=0$, тогда $y^{\prime }=4\left(1{)}^2\right(2)>0$ (функция возрастает). На промежутке $(2;+\infty )$: выберем $x=3$, тогда $y^{\prime }=4\left(4{)}^2\right(-1)<0$ (функция убывает).

Шаг 4: Определение экстремумов В точке $x=-1$ производная не меняет знак (функция продолжает возрастать), следовательно, это точка перегиба, а не экстремума. В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует локальному максимуму. Вычислим значение функции в этой точке: $y\left(2\right)=(2+1{)}^3(3-2)=3^3\cdot 1=27$Ответ: Единственной точкой экстремума является точка максимума $x=2$. Значение функции в этой точке $\mathbf{y}\mathbf{=}27$. Хотите ли вы также найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости данной функции?