X^3+6x^2+9x+51 найдите точку минимума

Для нахождения точки минимума функции $f\left(x\right)=x^3+6x^2+9x+51$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем производную функции $f\left(x\right)$ по правилу дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3{)}^{\prime }+(6x^2{)}^{\prime }+(9x{)}^{\prime }+(51{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+12x+9$2. Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю. Приравняем полученное выражение к нулю: $3x^2+12x+9=0$Для упрощения разделим всё уравнение на 3: $x^2+4x+3=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-4$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=3$

Корни уравнения: $x_1=-3$ $x_2=-1$ 3. Определение характера экстремумов Чтобы понять, какая из точек является минимумом, проанализируем знак производной на интервалах или воспользуемся второй производной. Метод второй производной: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(3x^2+12x+9{)}^{\prime }=6x+12$Подставим критические точки во вторую производную:

1. Для $x=-3$:
   $f^{\prime \prime }\left(-3\right)=6\left(-3\right)+12=-18+12=-6$
   Так как $f^{\prime \prime }\left(-3\right)<0$, то $x=-3$ — это точка максимума. Для $x=-1$:
   $f^{\prime \prime }\left(-1\right)=6\left(-1\right)+12=-6+12=6$
   Так как $f^{\prime \prime }\left(-1\right)>0$, то $x=-1$ — это точка минимума.

Ответ: Точка минимума $x=-1$. Хотите, чтобы я рассчитал значение функции в этой точке?