Решите уравнение 2sin(2x+pi/6)=sqrt(2)

Для решения уравнения $2\sin (2x+\frac{\pi }{6})=\sqrt{2}$ воспользуемся методами тригонометрии. 1. Приведение к простейшему виду Разделим обе части уравнения на 2: $\sin (2x+\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2. Нахождение аргумента Вспомним значения синуса. Уравнение вида $\sin \left(t\right)=a$ имеет два общих решения. В данном случае $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , что соответствует углу $\frac{\pi }{4}$ . Запишем общую формулу:

1. $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ $2x+\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi k=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$
   (где $k$ — любое целое число, $k\in \mathbb{Z}$)

3. Решение относительно $x$ Первая ветвь решений: $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ Переносим $\frac{\pi }{6}$ в правую часть: $2x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ Приводим к общему знаменателю (12): $2x=\frac{3\pi -2\pi }{12}+2\pi k$ $2x=\frac{\pi }{12}+2\pi k$ Делим на 2: $x=\frac{\pi }{24}+\pi k$ Вторая ветвь решений: $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ Переносим $\frac{\pi }{6}$ в правую часть: $2x=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ Приводим к общему знаменателю (12): $2x=\frac{9\pi -2\pi }{12}+2\pi k$ $2x=\frac{7\pi }{12}+2\pi k$ Делим на 2: $x=\frac{7\pi }{24}+\pi k$ Ответ: $x_1=\frac{\pi }{24}+\pi k,x_2=\frac{7\pi }{24}+\pi k;k\in \mathbb{Z}$ Или в краткой записи через $(-1{)}^n$: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{8}-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам отобрать корни этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо. Напишите, если требуется продолжение.