Решите уравнение log1/2(x^2+7x+10)>-2.

Для решения логарифмического неравенства ${\log }_{1/2}(x^2+7x+10)>-2$ необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойства логарифмической функции с основанием меньше единицы. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2+7x+10>0$Найдем корни уравнения $x^2+7x+10=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $-7$ Произведение корней: $10$ Корни: $x_1=-5,x_2=-2$

Парабола ветвями вверх положительна на интервалах: $x\in (-\infty ;-5)\cup (-2;+\infty )$ 2. Решение неравенства Преобразуем число $-2$ в логарифм по основанию $1/2$: $-2={\log }_{1/2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{1/2}\left(4\right)$ Получаем неравенство: ${\log }_{1/2}(x^2+7x+10)>{\log }_{1/2}4$Так как основание логарифма $0<1/2<1$, то при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x^2+7x+10<4$Перенесем все члены в левую часть: $x^2+7x+6<0$Найдем корни уравнения $x^2+7x+6=0$:

• Сумма корней: $-7$ Произведение корней: $6$ Корни: $x_1=-6,x_2=-1$

Решением этого неравенства является интервал между корнями: $x\in (-6;-1)$ 3. Пересечение с ОДЗ Теперь объединим полученное решение с условием ОДЗ:

1. Условие из неравенства: $x\in (-6;-1)$ Условие ОДЗ: $x\in (-\infty ;-5)\cup (-2;+\infty )$

Наложим эти интервалы друг на друга:

• От $-6$ до $-5$ (входит в ОДЗ) От $-5$ до $-2$ (не входит в ОДЗ) От $-2$ до $-1$ (входит в ОДЗ)

Итоговый ответ: $x\in (-6;-5)\cup (-2;-1)$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать систему неравенств с логарифмами. Хотите продолжить?