Решить уравнение log3(2x-4)=log3(x+7)

Для решения логарифмического уравнения ${\log }_3(2x-4)={\log }_3(x+7)$ воспользуемся методом приравнивания подлогарифмических выражений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Следовательно, выражения внутри логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $2x-4>0⟹2x>4⟹\mathbf{x}\mathbf{>}\mathbf{2}$ $x+7>0⟹\mathbf{x}\mathbf{>}-7$

Общим условием для существования обоих логарифмов является интервал: $x\in (2;+\infty )$. 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны (оба равны $3$), мы можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов: $2x-4=x+7$Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные числа — в правую: $2x-x=7+4$ $x=11$3. Проверка корня Необходимо проверить, входит ли полученное значение в ОДЗ:

• Число $11$ больше $2$, следовательно, корень является допустимым.

Проверка подстановкой: ${\log }_3(2\cdot 11-4)={\log }_3(22-4)={\log }_3\left(18\right)$ ${\log }_3(11+7)={\log }_3\left(18\right)$ ${\log }_3\left(18\right)={\log }_3\left(18\right)$ — верно. Ответ: $11$ Я могу помочь вам решить аналогичные уравнения с другими основаниями или более сложными выражениями. Хотите разобрать пример с квадратным уравнением внутри логарифма?