Решеня y=x^3+6x^2+9x наидити уmin y max

Для нахождения экстремумов функции $y=x^3+6x^2+9x$ необходимо исследовать её с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3+6x^2+9x{)}^{\prime }=3x^2+12x+9$2. Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может иметь максимум или минимум: $3x^2+12x+9=0$Разделим всё уравнение на 3 для упрощения: $x^2+4x+3=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-4$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=3$

Корни уравнения: $x_1=-3$ $x_2=-1$ 3. Определение знаков производной Проверим поведение производной на интервалах, разделенных точками $-3$ и $-1$:

• На интервале $(-\infty ;-3)$: выберем $x=-4$. $y^{\prime }\left(-4\right)=3(-4{)}^2+12(-4)+9=48-48+9=9>0$. Функция возрастает. На интервале $(-3;-1)$: выберем $x=-2$. $y^{\prime }\left(-2\right)=3(-2{)}^2+12(-2)+9=12-24+9=-3<0$. Функция убывает. На интервале $(-1;+\infty )$: выберем $x=0$. $y^{\prime }\left(0\right)=9>0$. Функция возрастает.

4. Вычисление экстремумов Согласно правилу знаков:

1. В точке $x=-3$ знак меняется с $+$ на $-$, значит, это точка максимума. В точке $x=-1$ знак меняется с $-$ на $+$, значит, это точка минимума.

Теперь вычислим значения функции $y$ в этих точках:

• Для $y_{max}$ ( $x=-3$):
  $y\left(-3\right)=(-3{)}^3+6(-3{)}^2+9\left(-3\right)=-27+54-27=0$ Для $y_{min}$ ( $x=-1$):
  $y\left(-1\right)=(-1{)}^3+6(-1{)}^2+9\left(-1\right)=-1+6-9=-4$

Итоговый результат:

• Локальный максимум: $y_{max}=0$ (при $x=-3$) Локальный минимум: $y_{min}=-4$ (при $x=-1$)

Хотите, чтобы я составил таблицу значений этой функции для построения графика?