(log5 (2)- log 5(4))/log5 (16)-log 5 (0.5))

Для решения данного выражения воспользуемся основными свойствами логарифмов:

1. Разность логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)-{\log }_a\left(c\right)={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$ Логарифм степени: ${\log }_a\left(b^k\right)=k\cdot {\log }_a\left(b\right)$

Шаг 1: Упрощение числителя Применим свойство разности логарифмов к числителю: ${\log }_5\left(2\right)-{\log }_5\left(4\right)={\log }_5\left(\frac{2}{4}\right)={\log }_5\left(0.5\right)$ Шаг 2: Упрощение знаменателя Применим то же свойство к знаменателю: ${\log }_5\left(16\right)-{\log }_5\left(0.5\right)={\log }_5\left(\frac{16}{0.5}\right)$ Так как деление на $0.5$ равносильно умножению на $2$: ${\log }_5\left(\frac{16}{0.5}\right)={\log }_5\left(32\right)$ Шаг 3: Нахождение значения дроби Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение: $\frac{{\log }_5\left(0.5\right)}{{\log }_5\left(32\right)}$ Представим числа $0.5$ и $32$ как степени двойки:

• $0.5=2^{-1}$ $32=2^5$

Подставим эти значения: $\frac{{\log }_5\left(2^{-1}\right)}{{\log }_5\left(2^5\right)}$ Используем свойство выноса степени за знак логарифма: $\frac{-1\cdot {\log }_5\left(2\right)}{5\cdot {\log }_5\left(2\right)}$ Шаг 4: Сокращение Логарифмы ${\log }_5\left(2\right)$ в числителе и знаменателе сокращаются: $\frac{-1}{5}=-0.2$ Ответ: $-0.2$