Решите уравнение x^2+4x=4+2|x-2|

Для решения уравнения $x^2+4x=4+2|x-2|$ необходимо рассмотреть два случая, зависящих от знака выражения под модулем. Модуль $|x-2|$ меняет свое поведение в точке $x=2$. Случай 1: $x\ge 2$ В этом случае выражение под модулем неотрицательно, поэтому $|x-2|=x-2$.

1. Подставляем в уравнение:
   $x^2+4x=4+2(x-2)$ Раскрываем скобки:
   $x^2+4x=4+2x-4$ Упрощаем:
   $x^2+4x=2x$
   $x^2+2x=0$ Решаем неполное квадратное уравнение:
   $x(x+2)=0$
   $x_1=0$, $x_2=-2$ Проверка условия ( $x\ge 2$):
   Ни один из корней ( $0$ и $-2$) не удовлетворяет условию $x\ge 2$. В этом интервале решений нет.

Случай 2: $x<2$ В этом случае выражение под модулем отрицательно, поэтому $|x-2|=-(x-2)=2-x$.

1. Подставляем в уравнение:
   $x^2+4x=4+2(2-x)$ Раскрываем скобки:
   $x^2+4x=4+4-2x$ Переносим все слагаемые в левую часть:
   $x^2+4x+2x-8=0$
   $x^2+6x-8=0$ Решаем через дискриминант:
   $D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=36+32=68$
   $\sqrt{D}=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot 17}=2\sqrt{17}$ Находим корни:
   $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-6\pm 2\sqrt{17}}{2}$
   $x_3=-3+\sqrt{17}$
   $x_4=-3-\sqrt{17}$ Проверка условия ( $x<2$):
   • $x_3=-3+\sqrt{17}\approx -3+4.12=1.12$ (удовлетворяет условию $1.12<2$) $x_4=-3-\sqrt{17}\approx -3-4.12=-7.12$ (удовлетворяет условию $-7.12<2$)

Итоговый ответ: Уравнение имеет два корня: $x_1=-3+\sqrt{17}$ $x_2=-3-\sqrt{17}$ Могу ли я помочь с решением других уравнений или систем?