Y=(x-1)/(x+1) производная сложной функции

Для нахождения производной функции $Y=\frac{x-1}{x+1}$ используется правило дифференцирования частного. Хотя эту функцию можно рассматривать как сложную (композицию), стандартный и наиболее эффективный путь — применение формулы для деления двух функций. Формула дифференцирования частного Если функция имеет вид $Y=\frac{u}{v}$ , то её производная вычисляется по формуле: $Y^{\prime }=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$ В данном случае:

• $u=x-1$ $v=x+1$

Пошаговое решение

1. Находим производные числителя и знаменателя:
   • $u^{\prime }=(x-1{)}^{\prime }=1$ $v^{\prime }=(x+1{)}^{\prime }=1$
2. Подставляем значения в формулу:
   $Y^{\prime }=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}$ Раскрываем скобки в числителе:
   $Y^{\prime }=\frac{x+1-x+1}{(x+1{)}^2}$ Приводим подобные слагаемые:
   $Y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}$

Альтернативный метод (как сложная функция) Если рассматривать функцию как $Y=(x-1)\cdot (x+1{)}^{-1}$, можно применить правило произведения и производную степенной функции:

1. $Y^{\prime }=(x-1{)}^{\prime }\cdot (x+1{)}^{-1}+(x-1)\cdot \left(\right(x+1{)}^{-1}{)}^{\prime }$ $Y^{\prime }=1\cdot (x+1{)}^{-1}+(x-1)\cdot (-1)\cdot (x+1{)}^{-2}\cdot (x+1{)}^{\prime }$ $Y^{\prime }=\frac{1}{x+1}-\frac{x-1}{(x+1{)}^2}$ Приведя к общему знаменателю: $Y^{\prime }=\frac{x+1-x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$

Итоговый ответ: $Y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ Я могу также рассчитать вторую производную этой функции или найти точки экстремума, если это необходимо.