Решить уравнение 2cos в квадрате x+3sinx=0

Для решения уравнения $2{\cos }^{2}x+3\sin x=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $2(1-{\sin }^{2}x)+3\sin x=0$Раскроем скобки: $2-2{\sin }^{2}x+3\sin x=0$Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, умножив все части на $-1$: $2{\sin }^{2}x-3\sin x-2=0$2. Введение новой переменной Пусть $\sin x=t$. Учитывая область значений функции синус, наложим ограничение: $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2-3t-2=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$Вычислим корни: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $t_1=\frac{3+5}{4}=\frac{8}{4}=2$ $t_2=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-0,5$

4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=2$ — не подходит, так как значение синуса не может превышать 1 (корней нет). $t_2=-0,5$ — подходит.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $\sin x=-0,5$Используем общую формулу для синуса $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(a)+\pi k$: $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(-0,5)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^k(-\frac{\pi }{6})+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Эту запись можно представить в виде двух серий решений:

1. $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Или в компактном виде: $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу также произвести отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо для вашего задания.