Решите уравнения log3(x+2)+log3x=1

Для решения уравнения ${\log }_3(x+2)+{\log }_{3}x=1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x+2>0x>-2$ $x>0$

Общим условием для системы будет: $x>0$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_3\left(\right(x+2)\cdot x)=1$Согласно определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c{a}^c=b$): $(x+2)x=3^1$ $x^2+2x=3$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2+2x-3=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-2$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-3$

Корни уравнения:

1. $x_1=1$ $x_2=-3$

4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные корни с условием $x>0$:

• $x_1=1$: Подходит ( $1>0$). $x_2=-3$: Не подходит ( $-3<0$), так как логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах.

Ответ: $x=1$. Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другим основанием или более сложным аргументом?