Sin в третьей степени 3 альфа умножить на cos 3 альфа минус cos в третьей степени 3 альфа умножить на sin 3 альфа

Для упрощения данного тригонометрического выражения воспользуемся формулами вынесения общего множителя и формулой синуса двойного аргумента. Исходное выражение ${\sin }^3\left(3\alpha \right)\cdot \cos \left(3\alpha \right)-{\cos }^3\left(3\alpha \right)\cdot \sin \left(3\alpha \right)$Пошаговое решение 1. Вынесение общего множителя Заметим, что в обоих слагаемых присутствуют $\sin \left(3\alpha \right)$ и $\cos \left(3\alpha \right)$. Вынесем их за скобки: $\sin \left(3\alpha \right)\cos \left(3\alpha \right)\cdot \left({\sin }^2\right(3\alpha )-{\cos }^2(3\alpha \left)\right)$2. Применение тригонометрических формул Для дальнейшего упрощения воспользуемся двумя формулами:

• Синус двойного угла: $\sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$, откуда $\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)$ . Косинус двойного угла: $\cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)$. Заметим, что в скобках у нас обратный порядок: $\left({\sin }^2\right(x)-{\cos }^2(x\left)\right)=-\left({\cos }^2\right(x)-{\sin }^2(x\left)\right)=-\cos \left(2x\right)$.

3. Преобразование выражения Применим эти формулы к нашему выражению, где $x=3\alpha$:

• $\sin \left(3\alpha \right)\cos \left(3\alpha \right)=\frac{1}{2}\sin \left(6\alpha \right)$ ${\sin }^2\left(3\alpha \right)-{\cos }^2\left(3\alpha \right)=-\cos \left(6\alpha \right)$

Подставим их обратно: $\frac{1}{2}\sin \left(6\alpha \right)\cdot (-\cos (6\alpha \left)\right)=-\frac{1}{2}\sin \left(6\alpha \right)\cos \left(6\alpha \right)$ 4. Финальное упрощение Снова применим формулу синуса двойного угла, теперь для аргумента $6\alpha$: $-\frac{1}{2}\cdot \left(\sin \right(6\alpha \left)\cos \right(6\alpha \left)\right)=-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\sin \right(12\alpha \left)\right)=-\frac{1}{4}\sin \left(12\alpha \right)$ Ответ: $-\frac{1}{4}\sin \left(12\alpha \right)$ Я могу также помочь с разложением этого выражения через другие тригонометрические тождества или решить конкретное уравнение на его основе.