Существует ли прямоугольник диагонали которого взаимно перпендикулярны?

Да, такой прямоугольник существует. Согласно геометрическим определениям и свойствам фигур, этим прямоугольником является квадрат. Чтобы понять, почему это так, стоит рассмотреть взаимосвязь свойств параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Геометрическое обоснование

1. Определение прямоугольника: Это параллелограмм, у которого все углы прямые (90°). Его диагонали всегда равны между собой.
2. Свойство перпендикулярности: Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, по определению является ромбом.
3. Синтез свойств: Если фигура одновременно обладает свойствами прямоугольника (равные диагонали и прямые углы) и свойствами ромба (перпендикулярные диагонали), то такая фигура — квадрат.

Доказательство через векторы или координаты Если представить прямоугольник на координатной плоскости с вершинами $A(0,b)$, $B(a,b)$, $C(a,0)$ и $D(0,0)$, то векторы его диагоналей будут иметь следующие координаты:

• $\overrightarrow{AC}=(a,-b)$ $\overrightarrow{BD}=(a,b)$

Для того чтобы диагонали были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=(a\cdot a)+(-b\cdot b)=a^2-b^2$ $a^2-b^2=0⟹a^2=b^2⟹a=b$Так как $a$ и $b$ — это длины сторон прямоугольника, условие $a=b$ означает, что все стороны фигуры равны. Вывод Прямоугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями существует — это квадрат. В общем случае у произвольного прямоугольника (где длина не равна ширине) диагонали пересекаются под острым и тупым углами. Хотите, чтобы я рассчитал параметры конкретного квадрата по заданной длине диагонали или площади?