Как найти угол между скрещивающими прямыми

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми — это классическая задача стереометрии. Поскольку скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, их угол определяется через параллельный перенос. 1. Геометрический метод (Метод переноса) Этот способ основан на приведении скрещивающихся прямых к пересекающимся.

1. Выбор точки: Выберите произвольную точку $M$ в пространстве. Обычно удобнее выбрать её на одной из данных прямых (например, на прямой $a$). Параллельный перенос: Проведите через точку $M$ прямую $b^{\prime }$, которая будет параллельна второй прямой $b$ ( $b^{\prime }\parallel b$). Определение угла: Теперь прямые $a$ и $b^{\prime }$ пересекаются в точке $M$. Углом между исходными скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ называется угол между пересекающимися прямыми $a$ и $b^{\prime }$. Расчет: Обычно для нахождения величины угла рассматривают треугольник, образованный в ходе построения, и применяют теорему косинусов:
   $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \left(\alpha \right)$

2. Векторно-координатный метод Этот метод является наиболее универсальным и менее зависимым от сложности чертежа.

1. Введение системы координат: Введите прямоугольную систему координат $Oxyz$. Нахождение направляющих векторов: Найдите координаты направляющих векторов для каждой прямой.
   • Если прямая $a$ проходит через точки $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$, то её направляющий вектор $\vec{p}=\{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}$. Аналогично найдите вектор $\vec{q}$ для второй прямой.
   Использование формулы косинуса: Косинус угла $\varphi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:
   $\cos \varphi =\frac{|\vec{p}\cdot \vec{q}|}{\left|\vec{p}\right|\cdot \left|\vec{q}\right|}$ Раскрытие формулы в координатах:
   $\cos \varphi =\frac{|x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Важные нюансы

• Диапазон значений: Угол между прямыми всегда берется в пределах $[0^{\circ },{90}^{\circ }]$. Если при расчетах через векторы получается тупой угол, берется его смежный (острый) аналог, именно поэтому в формуле используется модуль. Перпендикулярность: Если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю ( $x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$), то прямые перпендикулярны ( $\varphi ={90}^{\circ }$).

Я могу разобрать конкретный пример на нахождение угла в кубе или пирамиде, если вы предоставите условия задачи.