В основании прямой треугольной призмы abca1b1c1 лежит равнобедренный треугольник abc, ac = bc = 10. найдите угол между плоскостью ca1b1 и плоскостью основания, если боковое ребро aa1 равно 3, а сторона основания ab равна 2. ответ дайте в градусах.

Для решения данной задачи воспользуемся методом построения линейного угла двугранного угла и тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках. Угол между плоскостью $C{A}_1{B}_1$ и плоскостью основания $ABC$ равен углу между прямой $C{M}_1$ и её проекцией на плоскость основания, где $M_1$ — середина отрезка $A_1{B}_1$. ️ Шаг 1: Нахождение высоты основания Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ в основании. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Так как треугольник равнобедренный ( $AC=BC=10$), медиана $CM$ также является высотой ( $CM⟂AB$). В прямоугольном треугольнике $AMC$: $AM=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1$ По теореме Пифагора: $CM=\sqrt{A{C}^2-A{M}^2}=\sqrt{{10}^2-1^2}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$ ️ Шаг 2: Определение линейного угла Плоскости $ABC$ и $A_1{B}_{1}C$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $AB$ (так как $A_1{B}_1\parallel AB$). Пусть $M_1$ — середина $A_1{B}_1$. Отрезок $M{M}_1$ перпендикулярен плоскости основания и равен боковому ребру $A{A}_1=3$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle M_{1}CM$ в прямоугольном треугольнике $CM{M}_1$ (где $\angle CM{M}_1={90}^{\circ }$, так как призма прямая). ️ Шаг 3: Вычисление угла В прямоугольном треугольнике $CM{M}_1$ известны катеты: $M{M}_1=3$ и $CM=3\sqrt{11}$ . Найдём тангенс угла $\alpha$: $\tan \alpha =\frac{M{M}_1}{CM}=\frac{3}{3\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$ Следовательно, $\alpha =\arctan \frac{1}{\sqrt{11}}$ . Примечание: В школьных задачах такого типа часто подразумеваются значения, дающие «красивый» ответ (например, если бы $CM=3$, ответ был бы ${45}^{\circ }$), однако при данных числах ( $10,3,2$) получается именно такое значение. Если в условии задачи или источнике подразумевались другие числа (например, $AB=2\sqrt{91}$ ), ответ был бы иным. При текущих данных ответ выражается через арктангенс. Ответ: Угол равен $\arctan \frac{1}{\sqrt{11}}$ градусов. Нужно ли проверить расчеты для других возможных значений сторон, если в условии могла быть опечатка?