Tg^2x-2tgx-3=0 решение

Для решения уравнения ${\text{tg}}^{2}x-2\text{tg}x-3=0$ выполните следующие шаги:

1. Введение замены
   Пусть $\text{tg}x=t$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения:
   $t^2-2t-3=0$. Решение квадратного уравнения
   Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта:
   $D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$.
   $\sqrt{D}=4$ .
   Находим значения $t$:
   • $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+4}{2}=3$ . $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$ .
   Обратная замена и нахождение $x$
   Вернемся к переменной $x$, решив два простейших тригонометрических уравнения:
   • Случай 1: $\text{tg}x=3$.
     $x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$. Случай 2: $\text{tg}x=-1$.
     $x=\text{arctg}\left(-1\right)+\pi k$
     $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ:

• $x_1=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x_2=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Требуется ли вам проверка корней на определенном числовом промежутке?