Упростить выражение arctg1/2+ arctg1/5+ arctg1/8

Для упрощения выражения $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{8}$ воспользуемся формулой сложения арктангенсов: $\arctan x+\arctan y=\arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ Эта формула применима, если $xy<1$, что выполняется во всех последующих шагах. Шаг 1: Складываем первые два слагаемых Сначала вычислим сумму $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}$ :

1. Подставим значения в формулу:
   $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}=\arctan \left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}}\right)$ Выполним арифметические действия в числителе и знаменателе:
   • Числитель: $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5+2}{10}=\frac{7}{10}$ Знаменатель: $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
   Разделим числитель на знаменатель:
   $\frac{7/10}{9/10}=\frac{7}{9}$ Результат первого этапа:
   $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{7}{9}$

Шаг 2: Прибавляем третье слагаемое Теперь добавим к полученному результату оставшийся $\arctan \frac{1}{8}$ :

1. Подставим значения в формулу:
   $\arctan \frac{7}{9}+\arctan \frac{1}{8}=\arctan \left(\frac{\frac{7}{9}+\frac{1}{8}}{1-\frac{7}{9}\cdot \frac{1}{8}}\right)$ Выполним вычисления:
   • Числитель: $\frac{7}{9}+\frac{1}{8}=\frac{56+9}{72}=\frac{65}{72}$ Знаменатель: $1-\frac{7}{72}=\frac{72-7}{72}=\frac{65}{72}$
   Разделим числитель на знаменатель:
   $\frac{65/72}{65/72}=1$

Итоговый результат После всех преобразований выражение принимает вид: $\arctan 1$Известно, что $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ (или 45°). Ответ: $\frac{\pi }{4}$ Хотите, чтобы я проверил аналогичное выражение с другими значениями или вывел саму формулу сложения арктангенсов?