Упростить выражение sin(a+b)+sin(a-b)

Для упрощения выражения $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ воспользуемся тригонометрическими формулами синуса суммы и синуса разности двух углов. 1. Применение тригонометрических формул Разложим каждое слагаемое по соответствующей формуле:

• Формула синуса суммы:
  $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ Формула синуса разности:
  $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

2. Подстановка и приведение подобных слагаемых Запишем исходное выражение, подставив полученные разложения: $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )+(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )$Теперь сгруппируем слагаемые:

1. $\sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \beta =2\sin \alpha \cos \beta$ $\cos \alpha \sin \beta -\cos \alpha \sin \beta =0$

3. Итоговый результат После сокращения противоположных членов выражения получаем: $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta$

Примечание: Данное тождество также является следствием формулы преобразования суммы синусов в произведение:
$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ Если подставить $x=\alpha +\beta$ и $y=\alpha -\beta$, результат будет идентичным.

Хотите, чтобы я упростил аналогичное выражение для косинусов или представил результат в виде таблицы формул?