Тема: исследование функции провести полное исследование функции и построить ее график. y=x^2/4+x/16+1/4

Для проведения полного исследования функции $y=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4}$ воспользуемся стандартным алгоритмом. 1. Область определения и область значений

• Область определения $D\left(y\right)$: Данная функция является квадратичным многочленом. Она определена при любых значениях $x$.
  $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$ Область значений $E\left(y\right)$: Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Минимальное значение достигается в вершине.

2. Четность, нечетность и периодичность

• Проверим условие $f(-x)=f\left(x\right)$ (четность) или $f(-x)=-f\left(x\right)$ (нечетность):
  $f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{4}+\frac{-x}{16}+\frac{1}{4}=\frac{x^2}{4}-\frac{x}{16}+\frac{1}{4}$ $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$. Следовательно, функция общего вида (ни четная, ни нечетная). Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y=\frac{0}{4}+\frac{0}{16}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ Точка: $(0;0.25)$. С осью $Ox$ (при $y=0$):
  $\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4}=0$ Умножим всё на 16: $4x^2+x+4=0$.
  Найдем дискриминант: $D=1^2-4\cdot 4\cdot 4=1-64=-63$.
  Так как $D<0$, точек пересечения с осью $Ox$ нет. График лежит полностью выше оси абсцисс.

4. Исследование на экстремумы и монотонность Найдем производную функции: $y^{\prime }={(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4})}^{\prime }=\frac{2x}{4}+\frac{1}{16}=\frac{x}{2}+\frac{1}{16}$ Приравняем производную к нулю: $\frac{x}{2}+\frac{1}{16}=0⟹\frac{x}{2}=-\frac{1}{16}⟹x=-\frac{1}{8}=-0.125$

• Интервалы монотонности:
  • При $x\in (-\infty ;-0.125)$, $y^{\prime }<0$ — функция убывает. При $x\in (-0.125;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.
• Точка минимума: $x_{min}=-0.125$.
  Найдем значение $y$ в этой точке:
  $y\left(-0.125\right)=\frac{(-1/8{)}^2}{4}+\frac{-1/8}{16}+\frac{1}{4}=\frac{1}{256}-\frac{1}{128}+\frac{1}{4}=\frac{1-2+64}{256}=\frac{63}{256}\approx 0.246$

5. Исследование на выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={(\frac{x}{2}+\frac{1}{16})}^{\prime }=\frac{1}{2}$ Так как $y^{\prime \prime }=0.5>0$ на всей области определения, функция является выпуклой вниз на всем промежутке. Точек перегиба нет. 6. Асимптоты

• Вертикальных асимптот нет (функция непрерывна).
• Наклонных асимптот $y=kx+b$ нет, так как:
  $k=\underset{x\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\infty }{\lim }(\frac{x}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4x})=\infty$

Сводная таблица для построения графика

Вид графика: Это широкая парабола с вершиной, слегка смещенной влево от оси $Oy$ и расположенной чуть выше оси $Ox$. Она плавно уходит вверх в обе стороны. Могу ли я помочь с расчетом конкретных значений функции для построения таблицы точек или провести исследование другой функции?