Упростите выражение sin2α / 1+ cos2α

Для упрощения данного тригонометрического выражения воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса. Используемые формулы

1. Синус двойного угла: $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$ Косинус двойного угла: $\cos \left(2\alpha \right)=2{\cos }^2\alpha -1$ (одна из форм записи)

Пошаговое решение

1. Преобразуем числитель:
   Заменим $\sin \left(2\alpha \right)$ на произведение:
   $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$ Преобразуем знаменатель:
   Используем формулу косинуса двойного угла, чтобы избавиться от единицы:
   $1+\cos \left(2\alpha \right)=1+(2{\cos }^2\alpha -1)$После раскрытия скобок единицы взаимно уничтожаются:
   $1+2{\cos }^2\alpha -1=2{\cos }^2\alpha$ Подставим полученные значения в исходную дробь:
   $\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{1+\cos \left(2\alpha \right)}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{2{\cos }^2\alpha }$ Сократим дробь:
   • Сокращаем коэффициенты 2.
   • Сокращаем $\cos \alpha$ в числителе и одну степень $\cos \alpha$ в знаменателе.
   Остается:
   $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Применим определение тангенса:
   Поскольку отношение синуса к косинусу равно тангенсу, получаем:
   $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$

Ответ: $\frac{\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }=\tan \alpha$ Я могу также помочь с решением других тригонометрических тождеств или уравнений, если вы пришлете условие.