Log5(x^2+2x)=log5(x^2+10)

Для решения уравнения ${\log }_5(x^2+2x)={\log }_5(x^2+10)$ воспользуемся свойствами логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Следовательно, аргументы обоих логарифмов должны быть больше нуля:

1. $x^2+2x>0⟹x(x+2)>0$ $x^2+10>0$ (выполняется всегда, так как $x^2\ge 0$)

Решим неравенство $x(x+2)>0$. Корни соответствующего уравнения: $x=0$ и $x=-2$. По методу интервалов:

• $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$

2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны (оба равны 5), мы можем приравнять их аргументы: $x^2+2x=x^2+10$Теперь перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую: $x^2-x^2+2x=10$ $2x=10$ $x=\frac{10}{2}$ $x=5$3. Проверка на соответствие ОДЗ Проверим, входит ли найденный корень $x=5$ в область допустимых значений:

• Подставим в первое условие: $5^2+2\left(5\right)=25+10=35>0$ (Верно) Подставим во второе условие: $5^2+10=25+10=35>0$ (Верно)

Число 5 попадает в интервал $(0;+\infty )$. Ответ: $x=5$ Я могу также помочь с решением систем логарифмических уравнений или неравенств, если это необходимо.