Найдите значение производной функции f(x) = x*sin(2x+1) в точке = -1

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)=x\cdot \sin (2x+1)$ в точке $x=-1$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения и правилом дифференцирования сложной функции. 1. Нахождение общей производной Функция представляет собой произведение двух выражений: $u\left(x\right)=x$ и $v\left(x\right)=\sin (2x+1)$. Согласно правилу $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

1. Производная первого множителя:
   $(x{)}^{\prime }=1$ Производная второго множителя (по правилу сложной функции):
   $\left(\sin \right(2x+1){)}^{\prime }=\cos (2x+1)\cdot (2x+1{)}^{\prime }=\cos (2x+1)\cdot 2=2\cos (2x+1)$

Складываем части воедино: $f^{\prime }\left(x\right)=1\cdot \sin (2x+1)+x\cdot 2\cos (2x+1)$ $f^{\prime }\left(x\right)=\sin (2x+1)+2x\cos (2x+1)$2. Вычисление значения в точке x = -1 Подставим значение $x=-1$ в полученное выражение для производной:

1. Вычисляем аргумент функций:
   $2\left(-1\right)+1=-2+1=-1$ Подставляем в формулу:
   $f^{\prime }\left(-1\right)=\sin \left(-1\right)+2\left(-1\right)\cos \left(-1\right)$ $f^{\prime }\left(-1\right)=\sin \left(-1\right)-2\cos \left(-1\right)$

3. Упрощение (использование свойств четности) Вспомним, что синус — функция нечетная ( $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$), а косинус — четная ( $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$):

• $\sin \left(-1\right)=-\sin \left(1\right)$ $\cos \left(-1\right)=\cos \left(1\right)$

Итоговый вид: $f^{\prime }\left(-1\right)=-\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)$Ответ: $f^{\prime }\left(-1\right)=-\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)$ Вы можете оставить ответ в аналитическом виде или вычислить приближенное значение (в радианах): $f^{\prime }\left(-1\right)\approx -0.8415-2\left(0.5403\right)\approx -1.922$Хотите, чтобы я нашел уравнение касательной к этой функции в данной точке?