Y=2x^2-4x+2 исследование функции и построение с помощью производной

Для исследования функции $y=2x^2-4x+2$ и построения её графика с помощью производной воспользуемся стандартным алгоритмом. 1. Область определения Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$. 2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y\left(0\right)=2(0{)}^2-4(0)+2=2$.
  Точка: $(0;2)$. С осью $Ox$ (при $y=0$):
  $2x^2-4x+2=0$
  Разделим на 2: $x^2-2x+1=0$
  $(x-1{)}^2=0x=1$.
  Точка: $(1;0)$. Это также вершина параболы.

3. Исследование с помощью первой производной Найдем производную функции: $y^{\prime }=(2x^2-4x+2{)}^{\prime }=4x-4$ Критические точки: Приравняем производную к нулю: $4x-4=04x=4x=1$. Промежутки монотонности:

• На интервале $(-\infty ;1)$ выберем $x=0$: $y^{\prime }\left(0\right)=4\left(0\right)-4=-4<0$. Функция убывает. На интервале $(1;+\infty )$ выберем $x=2$: $y^{\prime }\left(2\right)=4\left(2\right)-4=4>0$. Функция возрастает.

Точки экстремума: Так как в точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min}=y\left(1\right)=2(1{)}^2-4(1)+2=0$. Координаты минимума (вершины): $(1;0)$. 4. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(4x-4{)}^{\prime }=4$ Так как $y^{\prime \prime }=4>0$ на всей области определения, график функции всюду выпуклый вниз (вогнутый), точек перегиба нет. 5. Асимптоты Вертикальных асимптот нет ( $D\left(y\right)=\mathbb{R}$). Наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как пределы функции на бесконечности равны $+\infty$. 6. Построение графика Для точного построения используем найденные данные:

1. Отмечаем вершину (минимум) в точке $(1;0)$.
2. Отмечаем точку пересечения с осью $Oy$: $(0;2)$. Используем свойство симметрии параболы относительно прямой $x=1$. Симметричная точке $(0;2)$ будет точка $(2;2)$. Дополнительная точка: при $x=3,y=2\left(9\right)-4\left(3\right)+2=18-12+2=8$. Точка $(3;8)$.

График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Хотите провести аналогичный анализ для кубической функции или функции с дробно-рациональным выражением?