Упростите выражение sin(альфа-пи/2)*cos(альфа-2пи)+2 tg(3пи/2-альфа)*sin(пи-альфа)*cos(4пи+альфа)

Для упрощения выражения $\sin (\alpha -\frac{\pi }{2})\cos (\alpha -2\pi )+2\tan (\frac{3\pi }{2}-\alpha )\sin (\pi -\alpha )\cos (4\pi +\alpha )$ воспользуемся формулами приведения и свойствами периодичности тригонометрических функций. 1. Преобразование каждого компонента Разберем выражение по частям:

• $\sin (\alpha -\frac{\pi }{2})$ :
  Вынесем минус за скобки: $\sin (-(\frac{\pi }{2}-\alpha \left)\right)$ . Так как синус — функция нечетная, получаем $-\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$ . По формуле приведения это равно $-\cos \alpha$. $\cos (\alpha -2\pi )$:
  Косинус — функция четная, поэтому $\cos (\alpha -2\pi )=\cos (2\pi -\alpha )$. Период косинуса равен $2\pi$, следовательно, это равно $\cos \alpha$. $\tan (\frac{3\pi }{2}-\alpha )$ :
  Угол находится в III четверти, где тангенс положителен. По правилу приведения функция меняется на кофункцию: $\cot \alpha$. $\sin (\pi -\alpha )$:
  Угол во II четверти, синус положителен. Функция не меняется: $\sin \alpha$. $\cos (4\pi +\alpha )$:
  Так как $4\pi$ — это два полных оборота (период), выражение упрощается до $\cos \alpha$.

2. Подстановка и упрощение Подставим полученные значения в исходное выражение: $(-\cos \alpha )\cdot \cos \alpha +2\cdot \cot \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$Выполним промежуточные вычисления:

1. $(-\cos \alpha )\cdot \cos \alpha =-{\cos }^2\alpha$ Вспомним определение котангенса: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ . Подставим его во вторую часть:
   $2\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha =2{\cos }^2\alpha$

3. Итоговый результат Соединяем части: $-{\cos }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$Ответ: ${\cos }^2\alpha$ Хотите, чтобы я решил аналогичный пример на упрощение с использованием тригонометрических тождеств?