2sinx-3cos^2 x+2=0

Для решения уравнения $2\sin x-3{\cos }^{2}x+2=0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. 1. Преобразование уравнения Заменим ${\cos }^{2}x$ на $(1-{\sin }^{2}x)$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$: $2\sin x-3(1-{\sin }^{2}x)+2=0$Раскроем скобки: $2\sin x-3+3{\sin }^{2}x+2=0$Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения: $3{\sin }^{2}x+2\sin x-1=0$2. Введение переменной Пусть $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$. Тогда уравнение принимает вид: $3t^2+2t-1=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$ $\sqrt{D}=4$ Вычислим корни: $t_1=\frac{-2+4}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ $t_2=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$ Оба значения удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 4. Обратная замена Теперь решим простейшие тригонометрические уравнения для каждого значения $t$. Случай 1: $\sin x=\frac{1}{3}$ Это не табличное значение, поэтому используем арксинус: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\sin x=-1$ Это частный случай на тригонометрической окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ:

• $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Я могу отобрать корни этого уравнения на заданном числовом промежутке, если это необходимо.