В прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см и гипотенузой 13 см вписана полуокружность. найдите радиус полуокружности

Для решения задачи рассмотрим наиболее распространенный случай расположения вписанной полуокружности: когда её диаметр лежит на гипотенузе, а сама полуокружность касается обоих катетов треугольника. Радиус полуокружности составляет $\frac{60}{17}$ см (или приблизительно $3,53$ см). 1. Определение положения центра Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты $a=5$ см и $b=12$ см. Гипотенуза $c=13$ см. Поместим вершину прямого угла в начало координат $C(0,0)$. Тогда катеты будут лежать на осях координат: вершина $A$ имеет координаты $(0,12)$, а вершина $B$ — $(5,0)$. Если центр полуокружности $O$ лежит на гипотенузе и она касается катетов, то расстояния от центра до катетов равны радиусу $r$. Следовательно, координаты центра $O$ равны $(r,r)$. 2. Использование уравнения гипотенузы Гипотенуза лежит на прямой, проходящей через точки $(0,12)$ и $(5,0)$. Уравнение этой прямой в отрезках: $\frac{x}{5}+\frac{y}{12}=1$ Так как центр $O(r,r)$ лежит на этой прямой, подставим его координаты в уравнение: $\frac{r}{5}+\frac{r}{12}=1$ 3. Нахождение радиуса Приведем дроби к общему знаменателю $60$: $\frac{12r+5r}{60}=1$ $17r=60$ $r=\frac{60}{17}$ В десятичном виде это значение равно: $r\approx 3,529.\mathrm{.}\mathrm{.}\text{см}$Примечание: Если бы диаметр лежал на одном из катетов, решение бы изменилось (для катета $12$ см радиус был бы $\frac{10}{3}$ см, для катета $5$ см — $2,4$ см), однако в стандартных задачах без уточнения подразумевается центрирование на гипотенузе. Ответ Радиус вписанной полуокружности равен $\frac{60}{17}$ см. Нужно ли рассчитать радиус для случая, когда диаметр лежит на одном из катетов?