Возвести в степень по формуле муавра (3/2 √3/2i)^6

Для возведения комплексного числа в степень по формуле Муавра необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме. Исходное выражение: $z={(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}^6$ . 1. Представление числа в тригонометрической форме Пусть $z_0=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ . Найдем его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

• Нахождение модуля $r$:
  $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt{3}$ Нахождение аргумента $\phi$:
  Так как число находится в первой четверти ( $a>0,b>0$):
  $\cos \phi =\frac{a}{r}=\frac{3/2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \phi =\frac{b}{r}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$ Следовательно, $\phi =\frac{\pi }{6}$ (или ${30}^{\circ }$).

Тригонометрическая форма числа: $z_0=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$ 2. Применение формулы Муавра Формула Муавра для возведения в степень $n$ выглядит следующим образом: $z^n=r^n\left(\cos \right(n\phi )+i\sin (n\phi \left)\right)$Подставим наши значения ( $r=\sqrt{3}$ , $\phi =\frac{\pi }{6}$ , $n=6$): $z^6=(\sqrt{3}{)}^6(\cos (6\cdot \frac{\pi }{6})+i\sin (6\cdot \frac{\pi }{6}))$ 3. Вычисление результата

• Возведение модуля в степень:
  $(\sqrt{3}{)}^6=(3^{1/2}{)}^6=3^3=27$ Вычисление аргумента:
  $6\cdot \frac{\pi }{6}=\pi$ Нахождение значений тригонометрических функций:
  $\cos \pi =-1$
  $\sin \pi =0$

Итоговый расчет: $z^6=27(-1+i\cdot 0)=27\cdot \left(-1\right)=-27$Ответ: $-27$. Если вам потребуется возвести это же число в дробную степень (найти корни), я могу составить для вас таблицу всех возможных значений.