Найдите производную функции e^x*ctg x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=e^x\cdot \text{ctg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$1. Определение компонентов Пусть:

• $u=e^x$ $v=\text{ctg}x$

2. Нахождение производных отдельных частей

• Производная показательной функции: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ Производная котангенса: $(\text{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

3. Применение формулы произведения Подставим полученные значения в формулу: $f^{\prime }\left(x\right)=(e^x{)}^{\prime }\cdot \text{ctg}x+e^x\cdot (\text{ctg}x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x\cdot \text{ctg}x+e^x\cdot (-\frac{1}{{\sin }^{2}x})$ 4. Упрощение выражения Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки: $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(\text{ctg}x-\frac{1}{{\sin }^{2}x})$ Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(\text{ctg}x-\frac{1}{{\sin }^{2}x})$ Могу также преобразовать этот результат к общему знаменателю или выразить через другие тригонометрические функции, если это необходимо.