Решите неравенство sin x >= |x - pi/2| + 1

Для решения неравенства $\sin x\ge |x-\frac{\pi }{2}|+1$ проанализируем область допустимых значений и свойства входящих в него функций. Анализ левой и правой частей Рассмотрим функции:

• Левая часть: $f\left(x\right)=\sin x$ Правая часть: $g\left(x\right)=|x-\frac{\pi }{2}|+1$

1. Оценка левой части:
   Из свойств тригонометрических функций известно, что область значений синуса ограничена:
   $-1\le \sin x\le 1$Следовательно, максимальное значение $f\left(x\right)$ равно 1. Оценка правой части:
   Функция $g\left(x\right)=|x-\frac{\pi }{2}|+1$ представляет собой модуль, смещенный вправо и вверх.
   • Так как $|x-\frac{\pi }{2}|\ge 0$ для любого $x$, то $g\left(x\right)\ge 1$. Минимальное значение функции $g\left(x\right)$ достигается при $x=\frac{\pi }{2}$ и равно 1.

Нахождение решения Запишем цепочку неравенств, исходя из полученных оценок: $\sin x\le 1\le |x-\frac{\pi }{2}|+1$ Чтобы исходное неравенство $\sin x\ge |x-\frac{\pi }{2}|+1$ имело решение, необходимо, чтобы обе части одновременно были равны одному и тому же числу. Единственным таким числом может быть 1. Это приводит нас к системе уравнений: $\{\begin{array}{c}\sin x=1\\ |x-\frac{\pi }{2}|+1=1\end{array}$ Решение системы

1. Из второго уравнения:
   $|x-\frac{\pi }{2}|=0⟹x=\frac{\pi }{2}$ Подставим полученное значение в первое уравнение для проверки:
   $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ Равенство $1=1$ верно.

Заключение Поскольку при любых других значениях $x$ левая часть будет строго меньше 1, а правая часть — строго больше 1, неравенство не будет выполняться. Единственная точка пересечения графиков и удовлетворения условия — это точка максимума синуса и минимума модуля. Ответ: $x=\frac{\pi }{2}$ Могу ли я помочь вам с графическим представлением этой функции или решением других тригонометрических неравенств?