Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=2+х^2 ,y=4+x

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2+x^2$ и $y=4+x$, равна 4.5 квадратных единиц. ️ Шаг 1: Нахождение точек пересечения Для определения пределов интегрирования необходимо найти точки, в которых графики функций пересекаются. Приравняем правые части уравнений: $2+x^2=4+x$Перенесем все члены в левую часть: $x^2-x-2=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $x_1=-1,x_2=2$Таким образом, пределы интегрирования: $a=-1$ и $b=2$. ️ Шаг 2: Определение функции сверху Выясним, какая из функций находится выше на интервале $(-1;2)$. Возьмем контрольную точку $x=0$:

• Для $y=4+x$: $y\left(0\right)=4+0=4$ Для $y=2+x^2$: $y\left(0\right)=2+0=2$
  Так как $4>2$, прямая $y=4+x$ ограничивает фигуру сверху, а парабола $y=2+x^2$ — снизу.

️ Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S={\int }_a^b\left(f_{top}\right(x)-f_{bottom}(x\left)\right)dx$ $S={\int }_{-1}^2\left(\right(4+x)-(2+x^2\left)\right)dx={\int }_{-1}^2(2+x-x^2)dx$Найдем первообразную: $F\left(x\right)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$ Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S=\left[2\right(2)+\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}]-\left[2\right(-1)+\frac{(-1{)}^2}{2}-\frac{(-1{)}^3}{3}]$ $S=(4+2-\frac{8}{3})-(-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=(6-2.666\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})-(-2+0.5+0.333\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$ $S=\frac{10}{3}-(-\frac{7}{6})=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=4.5$ Ответ: 4.5 Требуется ли вам помощь с построением графика этих функций или расчетом объема тела вращения для данной фигуры?