1+log2(x+1)=log2(7x+2)-log2(x-1)

Для решения уравнения $1+{\log }_2(x+1)={\log }_2(7x+2)-{\log }_2(x-1)$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

• $x+1>0⟹x>-1$ $7x+2>0⟹x>-2/7$ $x-1>0⟹x>1$

Пересечением этих условий является интервал: $x>1$. 2. Преобразование уравнения Представим единицу в виде логарифма с основанием 2: ${\log }_{2}2+{\log }_2(x+1)={\log }_2(7x+2)-{\log }_2(x-1)$Используем свойства логарифмов:

• Сумма логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(b\cdot c)$ Разность логарифмов: ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$

Получаем: ${\log }_2\left(2\right(x+1\left)\right)={\log }_2\left(\frac{7x+2}{x-1}\right)$ 3. Решение рационального уравнения Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $2(x+1)=\frac{7x+2}{x-1}$ Умножим обе части уравнения на $(x-1)$, учитывая, что $x\ne 1$: $2(x+1)(x-1)=7x+2$Разность квадратов в левой части: $2(x^2-1)=7x+2$ $2x^2-2=7x+2$Перенесем все члены уравнения в левую часть для получения квадратного уравнения: $2x^2-7x-4=0$4. Нахождение корней Решим через дискриминант $D=b^2-4ac$: $D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81$ $\sqrt{D}=9$ Находим корни по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $x_1=\frac{7+9}{4}=\frac{16}{4}=4$ $x_2=\frac{7-9}{4}=\frac{-2}{4}=-0.5$

5. Проверка по ОДЗ Ранее было установлено ограничение: $x>1$.

• $x_1=4$ — подходит ( $4>1$). $x_2=-0.5$ — не подходит, так как логарифм ${\log }_2(x-1)$ при данном значении не определен.

Ответ: $x=4$ Я могу составить для вас аналогичную задачу для закрепления материала или разобрать любой другой тип логарифмических уравнений.