Найдите точку минимума функции у=-(х^2+100/x)

Для нахождения точки минимума функции $y=-(x^2+\frac{100}{x})$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Область определения функции Функция определена для всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль: $D\left(y\right):x\ne 0$ или $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$. 2. Нахождение производной Преобразуем выражение функции для удобства дифференцирования: $y=-x^2-100x^{-1}$Вычисляем производную: $y^{\prime }=(-x^2{)}^{\prime }-(100x^{-1}{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=-2x-100\cdot \left(-1\right)\cdot x^{-2}$ $y^{\prime }=-2x+\frac{100}{x^2}$ Приведем производную к общему знаменателю: $y^{\prime }=\frac{-2x^3+100}{x^2}$ 3. Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю: $\frac{-2x^3+100}{x^2}=0$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $-2x^3+100=0$ $-2x^3=-100$ $x^3=50$ $x=\sqrt[3]{50}$ 4. Определение знаков производной и характера точек Разделим числовую прямую на интервалы точками $x=0$ (точка разрыва) и $x=\sqrt[3]{50}$ (критическая точка) и определим знак $y^{\prime }$ на каждом промежутке:

1. $(-\infty ;0)$: Возьмем $x=-1$.
   $y^{\prime }\left(-1\right)=\frac{-2(-1{)}^3+100}{(-1{)}^2}=\frac{2+100}{1}=102>0$ . Функция возрастает. $(0;\sqrt[3]{50})$ : Возьмем $x=1$.
   $y^{\prime }\left(1\right)=\frac{-2(1{)}^3+100}{1^2}=\frac{98}{1}=98>0$ . Функция возрастает. $(\sqrt[3]{50};+\infty )$ : Возьмем $x=10$.
   $y^{\prime }\left(10\right)=\frac{-2\left(1000\right)+100}{100}=\frac{-1900}{100}=-19<0$ . Функция убывает.

Важно: Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс.

В данном случае:

• В точке $x=0$ функция не определена. В точке $x=\sqrt[3]{50}$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке максимума.

Заключение Поскольку на всей области определения функция сначала возрастает, а после критической точки убывает, локальных минимумов у данной функции нет. Ответ: Точек минимума нет. Я могу также вычислить значение функции в точке максимума или построить схематичный график, если это потребуется.