6 в степени x + 6 в степени 1 – x = 7

Для решения уравнения $6^x+6^{1-x}=7$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Используя свойство степеней $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ , перепишем второе слагаемое: $6^x+\frac{6^1}{6^x}=7$ 2. Введение новой переменной Пусть $6^x=t$. Учитывая свойства показательной функции, сразу отметим ограничение: $t>0$. Подставим $t$ в уравнение: $t+\frac{6}{t}=7$ 3. Решение квадратного уравнения Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t\ne 0$): $t^2+6=7t$ $t^2-7t+6=0$Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=7$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=6$

Отсюда получаем два значения:

1. $t_1=1$ $t_2=6$

Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 4. Обратная подстановка Теперь вернемся к переменной $x$, решив два простейших показательных уравнения: Случай 1: $6^x=1$Так как любое число в нулевой степени равно 1 ( $6^0=1$): $x_1=0$ Случай 2: $6^x=6$Так как $6=6^1$: $x_2=1$ Ответ: $0;1$. Могу ли я помочь вам с решением другого математического уравнения или разбором аналогичной темы?