Log6(x+1)+log6(2x+1)=1

Для решения уравнения ${\log }_6(x+1)+{\log }_6(2x+1)=1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x+1>0⟹x>-1$ $2x+1>0⟹x>-0.5$

Общим условием для системы является $x>-0.5$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_a\left(M\right)+{\log }_a\left(N\right)={\log }_a(M\cdot N)$. ${\log }_6\left(\right(x+1\left)\right(2x+1\left)\right)=1$По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $(x+1)(2x+1)=6^1$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $2x^2+x+2x+1=6$ $2x^2+3x-5=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=3^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)=9+40=49$Вычислим корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $x_1=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1$ $x_2=\frac{-3-7}{4}=\frac{-10}{4}=-2.5$

4. Проверка корней по ОДЗ Сравним полученные значения с условием $x>-0.5$:

• $x_1=1$: Удовлетворяет условию ( $1>-0.5$). $x_2=-2.5$: Не удовлетворяет условию (посторонний корень), так как при подстановке в исходное уравнение аргументы логарифмов становятся отрицательными.

Ответ: $x=1$. Если вам нужно разобрать аналогичные уравнения с другими основаниями или более сложными аргументами, я могу составить для вас пошаговый алгоритм их решения.