Упростите выражение: а) sin(5п/2 + а) б) cos(3п + а) в) sin(7п/2 - а) п - пи, а - альфа.

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулами приведения. Основные правила:

1. Если под знаком функции стоит угол вида $\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ или $\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$ (дробное количество $\pi$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус и наоборот). Если под знаком функции стоит угол вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$ (целое количество $\pi$), то функция не меняется. Знак перед итоговым выражением (+ или -) определяется по знаку исходной функции в соответствующей четверти тригонометрического круга.

а) $\sin (\frac{5\pi }{2}+\alpha )$

1. Периодичность: Выделим полный оборот. $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ . Так как период синуса равен $2\pi$, его можно отбросить:
   $\sin (2\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha )=\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ Преобразование: Угол $\frac{\pi }{2}$ требует смены функции на косинус. Четверть: Угол $(\frac{\pi }{2}+\alpha )$ находится во II четверти. Синус во II четверти положительный. Результат: $\sin (\frac{5\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$

б) $\cos (3\pi +\alpha )$

1. Периодичность: Выделим полный оборот. $3\pi =2\pi +\pi$. Отбрасываем $2\pi$:
   $\cos (2\pi +\pi +\alpha )=\cos (\pi +\alpha )$ Преобразование: Угол $\pi$ (целое число) означает, что функция остается косинусом. Четверть: Угол $(\pi +\alpha )$ находится в III четверти. Косинус в III четверти отрицательный. Результат: $\cos (3\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

в) $\sin (\frac{7\pi }{2}-\alpha )$

1. Периодичность: Выделим полный оборот. $\frac{7\pi }{2}=\frac{4\pi }{2}+\frac{3\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ . Отбрасываем $2\pi$:
   $\sin (2\pi +\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )$ Преобразование: Угол $\frac{3\pi }{2}$ требует смены функции на косинус. Четверть: Угол $(\frac{3\pi }{2}-\alpha )$ находится в III четверти. Синус в III четверти отрицательный. Результат: $\sin (\frac{7\pi }{2}-\alpha )=-\cos \alpha$

Итоговые ответы:

• а) $\cos \alpha$ б) $-\cos \alpha$ в) $-\cos \alpha$

Я могу также составить для вас таблицу знаков тригонометрических функций по четвертям или разобрать более сложные примеры с тангенсом и котангенсом. Хотите продолжить?