Abcda1b1c1d1 - наклонный параллелепипед, основание которого - квадрат abcd. точка о - точка пересечения диагоналей грани a1b1c1d1. ортогональная проекция точки о на плоскость основания совпадает с вершиной с. градусная мера угла наклона плоскости диагонального сечения bb1d1d к плоскости abc = 60 градусов. вычислите объем параллелепипеда, если известно, что ab=8 см.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема параллелепипеда: $V=S_{осн}\cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда. 1. Анализ основания и площади Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a=8$ см.

• $S_{осн}=A{B}^2=8^2=64$ см². Диагональ квадрата $AC=a\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ см. Точка пересечения диагоналей основания (пусть это будет $K$) делит их пополам: $CK=\frac{1}{2}AC=4\sqrt{2}$ см.

2. Определение высоты параллелепипеда Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей верхней грани $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. По условию, ортогональная проекция точки $O$ на плоскость $\left(ABC\right)$ совпадает с вершиной $C$. Это значит, что отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости основания, следовательно, длина $OC$ является высотой параллелепипеда ( $h=OC$). 3. Определение угла наклона плоскости Рассмотрим диагональное сечение $B{B}_1{D}_{1}D$. Это плоскость, проходящая через диагонали оснований $BD$ и $B_1{D}_1$.

• Линия пересечения плоскости сечения с основанием — прямая $BD$. Так как $ABCD$ — квадрат, $AC⟂BD$. Точка $C$ — проекция точки $O$ на основание. Отрезок $OC$ — перпендикуляр к плоскости. В плоскости основания проведем перпендикуляр из $C$ к линии пересечения $BD$. Этим перпендикуляром является отрезок $CK$ (так как диагонали квадрата перпендикулярны). По теореме о трех перпендикулярах, отрезок $OK$ также перпендикулярен $BD$. Следовательно, угол $\angle OKC$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию $\angle OKC={60}^{\circ }$.

4. Расчет высоты Рассмотрим прямоугольный треугольник $△OCK$ (где $\angle OCK={90}^{\circ }$):

• Катет $CK=4\sqrt{2}$ см. Угол $\angle OKC={60}^{\circ }$. Высота $h=OC=CK\cdot \tan \left({60}^{\circ }\right)$.

Используя значение $\tan \left({60}^{\circ }\right)=\sqrt{3}$ : $h=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{6}\text{см}$ 5. Вычисление объема Подставим полученные значения в формулу объема: $V=S_{осн}\cdot h=64\cdot 4\sqrt{6}=256\sqrt{6}{\text{см}}^3$ Ответ: Объем параллелепипеда равен $256\sqrt{6}$ см³. Я могу также помочь с расчетом площади боковой поверхности или координатными методами для этой фигуры, если это необходимо.