Исследуйте функцию y=1/3x^3-x^2-3x+1/3

Для полного исследования функции $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x+\frac{1}{3}$ выполним последовательный анализ по основным пунктам. 1. Область определения и область значений

• Область определения ( $D\left(y\right)$): Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $x\in (-\infty ;+\infty )$. Область значений ( $E\left(y\right)$): Так как это кубическая функция с положительным старшим коэффициентом, её значения простираются от минус бесконечности до плюс бесконечности: $y\in (-\infty ;+\infty )$.

2. Четность, нечетность и периодичность

• Проверим условие $f(-x)$:
  $f(-x)=\frac{1}{3}(-x{)}^3-(-x{)}^2-3(-x)+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x+\frac{1}{3}$ . $f(-x)\ne f\left(x\right)$ (не четная) и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$ (не нечетная). Функция общего вида. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y=\frac{1}{3}(0{)}^3-0^2-3(0)+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ .
  Точка: $(0;\frac{1}{3})$ . С осью $Ox$ (при $y=0$):
  $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x+\frac{1}{3}=0x^3-3x^2-9x+1=0$ .
  Данное уравнение не имеет целых корней (проверка делителей единицы $\pm 1$ не дает нуля). Корни можно найти приближенно, но для общего исследования достаточно отметить их наличие.

4. Производная и экстремумы Найдем производную функции: $y^{\prime }=(\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x+\frac{1}{3}{)}^{\prime }=x^2-2x-3$ . Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета или через дискриминант: $x_1=3,x_2=-1$. Определение промежутков монотонности:

• На интервале $(-\infty ;-1)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. На интервале $(-1;3)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. На интервале $(3;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Значения в точках экстремума:

• $x_{max}=-1$: $y\left(-1\right)=\frac{1}{3}(-1{)}^3-(-1{)}^2-3\left(-1\right)+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}-1+3+\frac{1}{3}=2$ .
  Точка максимума: $(-1;2)$. $x_{min}=3$: $y\left(3\right)=\frac{1}{3}\left(27\right)-9-3\left(3\right)+\frac{1}{3}=9-9-9+\frac{1}{3}=-8\frac{2}{3}$ .
  Точка минимума: $(3;-8\frac{2}{3})$ .

5. Вторая производная и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(x^2-2x-3{)}^{\prime }=2x-2$. Приравняем к нулю: $2x-2=0x=1$. Анализ выпуклости:

• На интервале $(-\infty ;1)$: $y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый вверх. На интервале $(1;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ — график выпуклый вниз (вогнутый).

Значение в точке перегиба: $y\left(1\right)=\frac{1}{3}(1{)}^3-1^2-3(1)+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-1-3+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-4=-3\frac{1}{3}$ . Точка перегиба: $(1;-3\frac{1}{3})$ . 6. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция определена на всей числовой прямой.
• Наклонные и горизонтальные асимптоты: Проверка пределов на бесконечности показывает, что функция стремится к $\pm \infty$. Асимптот нет.

Сводная таблица характерных точек

Желаете ли вы, чтобы я составил таблицу значений функции для построения точного графика по точкам?