Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1. найдите двугранный угол adca1, если ac = 13 см, dc = 5 см, aa1 = 12√3

Для решения данной задачи необходимо найти линейный угол двугранного угла с ребром $DC$, образованного плоскостями $\left(ADC\right)$ и $\left(A_{1}DC\right)$. ️ Шаг 1: Определение линейного угла Двугранный угол $ADC{A}_1$ — это угол между плоскостями $ADC$ (основание параллелепипеда) и $A_{1}DC$. Его ребром является прямая $DC$.

1. Так как $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямоугольный параллелепипед, то $AD⟂DC$. Отрезок $A{A}_1$ является перпендикуляром к плоскости основания $\left(ABCD\right)$. Следовательно, $AD$ является проекцией наклонной $A_{1}D$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как $AD⟂DC$, то и $A_{1}D⟂DC$. Таким образом, $\angle A_{1}DA$ является линейным углом искомого двугранного угла.

️ Шаг 2: Нахождение стороны $AD$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ( $\angle D={90}^{\circ }$). По теореме Пифагора: $A{D}^2+D{C}^2=A{C}^2$ $AD=\sqrt{A{C}^2-D{C}^2}$ Подставим известные значения $AC=13$ см и $DC=5$ см: $AD=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{см}$ ️ Шаг 3: Вычисление величины угла Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_{1}AD$ ( $\angle A={90}^{\circ }$), где $A{A}_1=12\sqrt{3}$ см и $AD=12$ см. Найдем тангенс угла $A_{1}DA$: $\tan (\angle A_{1}DA)=\frac{A{A}_1}{AD}$ $\tan (\angle A_{1}DA)=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$ Следовательно: $\angle A_{1}DA=\arctan \left(\sqrt{3}\right)={60}^{\circ }$ Ответ: Двугранный угол $ADC{A}_1$ равен 60°. Нужно ли вам рассчитать площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью $A_{1}DC$?