Докажите что функция y log1/2x строго монотонна на полной области определения

Для доказательства строгой монотонности функции $y={\log }_{1/2}x$ необходимо рассмотреть её определение, область определения и применить аппарат производной или определение монотонности через неравенства. 1. Область определения Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента. Следовательно, область определения функции: $D\left(y\right)=(0;+\infty )$2. Доказательство через производную Наиболее универсальный способ проверки функции на монотонность — исследование знака её первой производной.

1. Нахождение производной:
   Воспользуемся формулой производной логарифма по произвольному основанию $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ .
   Для нашей функции $a=1/2$:
   $y^{\prime }=({\log }_{1/2}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln (1/2)}$ Анализ знака производной:
   • По определению области определения $x>0$. Число $\ln (1/2)$ можно представить как $\ln \left(2^{-1}\right)=-\ln 2$. Так как $2>e^0$ (или $2>1$), то $\ln 2\approx 0.693>0$. Следовательно, $\ln (1/2)=-\ln 2<0$.
   Таким образом, в выражении $y^{\prime }=\frac{1}{x\cdot (-\ln 2)}$ числитель положителен, а знаменатель всегда отрицателен для любого $x\in D\left(y\right)$.
   $y^{\prime }<0\text{при всех}x\in (0;+\infty )$ Вывод:
   Согласно достаточному условию монотонности, если производная функции отрицательна на всем интервале, то функция строго убывает на этом интервале.

3. Доказательство по определению Проверим выполнение условия: если $x_2>x_1$, то $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$. Воспользуемся переходом к натуральному логарифму: ${\log }_{1/2}x=\frac{\ln x}{\ln (1/2)}=\frac{\ln x}{-\ln 2}$ Пусть $0<x_1<x_2$. Так как функция $f\left(t\right)=\ln t$ является строго возрастающей: $\ln x_1<\ln x_2$Разделим обе части неравенства на отрицательное число $(-\ln 2)$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{\ln x_1}{-\ln 2}>\frac{\ln x_2}{-\ln 2}$ ${\log }_{1/2}{x}_1>{\log }_{1/2}{x}_2$Так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на всей области определения, функция $y={\log }_{1/2}x$ является строго убывающей, а значит — строго монотонной. Я могу также составить таблицу значений или построить описание графика этой функции, чтобы визуализировать её поведение. Хотите, чтобы я это сделал?