Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)= ln x-x

Функция возрастает на промежутке $\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{]}$ и убывает на промежутке $\mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{+}\mathbf{\infty }\mathbf{)}$. Шаг 1: Определение области определения Функция $f\left(x\right)=\ln x-x$ содержит натуральный логарифм, который определен только для положительных значений аргумента. Следовательно, область определения функции: $D\left(f\right)=(0,+\infty )$Шаг 2: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную $f^{\prime }\left(x\right)$: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}(\ln x-x)=\frac{1}{x}-1$ Приведем выражение к общему знаменателю: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1-x}{x}$ Шаг 3: Нахождение критических точек Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $x>0$, производная не существует только вне области определения. Найдем, где $f^{\prime }\left(x\right)=0$: $\frac{1-x}{x}=01-x=0x=1$ Точка $x=1$ разделяет область определения на два интервала: $(0,1)$ и $(1,+\infty )$. Шаг 4: Исследование знака производной Определим знак $f^{\prime }\left(x\right)$ на полученных интервалах:

1. На интервале $(0,1)$: выберем $x=0.5$. Тогда $f^{\prime }\left(0.5\right)=\frac{1-0.5}{0.5}=1>0$ . Производная положительна, функция возрастает. На интервале $(1,+\infty )$: выберем $x=2$. Тогда $f^{\prime }\left(2\right)=\frac{1-2}{2}=-0.5<0$ . Производная отрицательна, функция убывает.

Так как функция непрерывна в точке $x=1$, эта точка включается в оба промежутка. Ответ: Функция возрастает при $x\in \mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{]}$ и убывает при $x\in \mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{+}\mathbf{\infty }\mathbf{)}$. Нужно ли вам также найти экстремумы этой функции или построить её график?